今日头条最新数学题趣味解答

花香鸟语 2025-01-13 新闻中心 13 次浏览 0个评论

在今日头条上，数学题目的讨论总是能引起广大读者的兴趣和关注，我将为大家解答几道最新的数学题，这些题目涵盖了从中学几何到三角函数等多个领域，希望通过这些题目的解答，能够帮助大家更好地理解数学，提高解题能力。

中学几何题

题目：在△ABC中，点D是边BC上的点且CD=2BD，∠ABC=45度，∠ADC=60度，求∠ACD的度数。

解答：

这道题目看似图形简单，但如果没有找到正确的思路，还是很难做出来的，我们可以按照以下步骤来求解：

1、设定已知条件：

- 点D在BC上，CD=2BD

- ∠ABC=45度，∠ADC=60度

2、利用正弦定理：

- 设∠BDC=θ，则∠BDA=180°-θ-60°=120°-θ

- 应用正弦定理在△BDC中：

\frac{BD}{\sin 60°} = \frac{CD}{\sin \angle DBC}

由于CD=2BD，

\frac{BD}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2BD}{\sin \angle DBC} \implies \sin \angle DBC = \sqrt{3}

显然，这是不可能的，因为正弦函数的值域是[-1,1]，我们需要用余弦定理。

3、利用余弦定理：

- 在△BDC中，设BD=x，则CD=2x，BC=3x

- 应用余弦定理：

BD^2 = CD^2 + BC^2 - 2 \cdot CD \cdot BC \cdot \cos \theta

x^2 = (2x)^2 + (3x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3x \cdot \cos \theta

x^2 = 4x^2 + 9x^2 - 12x^2 \cos \theta

x^2 = 13x^2 - 12x^2 \cos \theta

12x^2 \cos \theta = 12x^2

\cos \theta = 1 \implies \theta = 0°

显然，θ=0°是不可能的，因为∠BDC不可能为0°，这里我们注意到，由于∠BDC和∠BDA的和为120°，且∠BDC和∠BDA都是三角形的内角，所以它们都不能为0°或180°，我们需要重新考虑。

4、重新考虑角度关系：

- 由于∠BDC和∠BDA的和为120°，且∠BDC和∠BDA都是锐角或钝角，我们可以设∠BDC=α，∠BDA=120°-α

- 在△BDC中，利用正弦定理：

\frac{BD}{\sin 60°} = \frac{CD}{\sin \angle DBC} \implies \frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2x}{\sin \angle DBC} \implies \sin \angle DBC = \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}

由于∠DBC是锐角，DBC=60°。

5、求解∠ACD：

- 由于∠DBC=60°，且∠ABC=45°，ABD=15°

- 在△ABD中，∠BAD=180°-∠ABD-∠ABC=180°-15°-45°=120°

- 由于∠ADC=60°，ACD=180°-∠ADC-∠DAC=180°-60°-∠DAC

- 由于∠DAC=∠BAD-∠BAC=120°-45°=75°，ACD=180°-60°-75°=45°

∠ACD的度数为45°。

木棒构成多边形问题

题目：有一个由很多木棒构成的集合，每个木棒有对应的长度，请问能否用集合中的这些木棒以某个顺序首尾相连构成一个面积大于0的简单多边形且所有木棒都要用上？初始集合是空的，有两种操作，要么给集合添加一个长度为L的木棒，要么删去集合中已经有的某个木棒，每次操作结束后你都需要告知是否能用集合中的这些木棒构成一个简单多边形。

解答：

这道题目是一个典型的贪心算法问题，问题的本质其实就是给定n条边，问能否构成n边形，给定n条边，问能否构成n边形的条件是任意n-1条边的长度和大于另一条边的长度，我们可以按照以下步骤来解答：

1、初始化变量：

- 用一个数组或列表来存储当前集合中的木棒长度。

- 用一个变量来记录当前集合中木棒的总长度。

- 用一个布尔变量来记录当前集合中的木棒是否能构成一个简单多边形。

2、处理操作：

- 对于每次操作，首先读取操作类型和木棒长度。

- 如果操作类型是插入（i=1），则将木棒长度添加到集合中，并更新总长度和是否能构成多边形的布尔变量。

- 检查当前集合中的木棒是否能构成一个简单多边形：如果任意n-1条边的长度和大于另一条边的长度，则能构成简单多边形。

- 如果操作类型是删除（i=2），则从集合中删除指定长度的木棒，并更新总长度和是否能构成多边形的布尔变量。

- 同样检查当前集合中的木棒是否能构成一个简单多边形。

3、输出结果：

- 对于每次操作结束后，输出当前集合中的木棒是否能构成一个简单多边形。

以下是Java代码实现：

import java.util.*;
public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        
        int n = scanner.nextInt();
        List<Integer> sticks = new ArrayList<>();
        boolean canFormPolygon = false;
        
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int operationType = scanner.nextInt();
            int length = scanner.nextInt();
            
            if (operationType == 1) {
                sticks.add(length);
                Collections.sort(sticks);
                canFormPolygon = canFormSimplePolygon(sticks);
            } else if (operationType == 2) {
                sticks.remove(Integer.valueOf(length));
                Collections.sort(sticks);
                canFormPolygon = canFormSimplePolygon(sticks);
            }
            
            System.out.println(canFormPolygon ? "Yes" : "No");
        }
        
        scanner.close();
    }
    
    private static boolean canFormSimplePolygon(List<Integer> sticks) {
        int sum = 0;
        for (int stick : sticks) {
            sum += stick;
        }
        
        int maxStick = Collections.max(sticks);
        int remainingSum = sum - maxStick;
        
        return remainingSum > maxStick;
    }
}

三角函数解几何题

题目：三角形定角对定边，求两条动边组成的一次多项式的最大值。

解答：

这道题目可以通过三角函数的方法来解决，我们可以把C点看成三角形ABC外接圆上的动点，并利用正弦定理和三角函数的性质来求解。

1、设定已知条件：

- 设∠A=α，则∠B=135°-α（因为三角形内角和为180°）。

2、应用正弦定理：

- 根据正弦定理，我们有：

\frac{AB}{\sin 45°} = \frac{AC}{\sin (135°-α)} = \frac{BC}{\sin α}

- 代入已知条件，得到：

AC = 4\sqrt{2} \sin (135°-α) = 4\sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \cos α + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin α \right) = 4\cos α + 4\sin α

BC = 4\sqrt{2} \sin α